Calcular límite de una función

$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \left( \sqrt{x^2-x} - x \right)$

SOLUCIÓN

Se trata de una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ que podemos resolver multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada

$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \left( \sqrt{x^2-x} - x \right) = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \frac{\left( \sqrt{x^2-x} - x \right) \cdot \left( \sqrt{x^2-x} + x \right)}{\left( \sqrt{x^2-x} + x \right)}=$

$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \frac{x^2-x-x^2}{\left( \sqrt{x^2-x} + x \right)} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \frac{-x}{ \sqrt{x^2-x} + x }$

Recordemos que $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \sqrt{x^2-x} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \sqrt{x^2}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: x$

Entonces tenemos:

$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \frac{-x}{ \sqrt{x^2-x} + x } = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \frac{-x}{x+x} =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \: \frac{-x}{2x}=\frac{-1}{2}$

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