Integral con cambio de variable

Aplica el cambio $e^x=t$ para resolver la integral
$\int_0^{Ln(2)} \frac{dx}{1+e^x}$

SOLUCIÓN

$\int_0^{Ln(2)} \frac{dx}{1+e^x}$

En primer lugar resolvemos la integral indefinida por el método de sustitución

$e^x=t \longrightarow e^x dx = dt \longrightarow dx=\frac{dt}{e^x} \longrightarow dx=\frac{dt}{t}$

Aplicamos el cambio

$\int \frac{dx}{1+e^x} = \int \frac{\frac{dt}{t}}{1+t}=\int \frac{dt}{t(t+1)}$

Se ha convertido en una integral racional sencilla, que descomponemos en suma de fracciones simples

$\frac{1}{t(t+1)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1}=\frac{A(t+1)+Bt}{t(t+1)}$

$1 = A(t+1)+Bt$

Si $t=0 \longrightarrow 1=A$
Si $t=-1 \longrightarrow 1=-B \longrightarrow B=-1$

$\int \frac{dt}{t(t+1)}=\int \frac{dt}{t} + \int \frac{-dt}{t+1}=Ln|t|-Ln|t+1|+C=$

Ahora deshacemos el cambio de variable

$= Ln|e^x|-Ln|e^x+1|+C=x -Ln|e^x+1|+C$

Recordemos que era una integral definida.

$\int_0^{Ln(2)} \frac{dx}{1+e^x} = \left[ x -Ln|e^x+1| \right]_0^{Ln(2)} =$

$\left[Ln(2)-Ln|e^{Ln(2)}+1| \right] - [0 -Ln|e^0+1|] =$

$Ln(2)-Ln(3) - (-Ln(2)) = \fbox{2 Ln(2) - Ln(3)}$